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De onde surgiu esse quadrado?

16 de maio de 2019

Os dois maiores triângulos retângulos da figura abaixo são formados pelas mesmas partes (dois triângulos retângulos, A e B e dois hexágonos, C e D), agrupadas de formas diferentes. As suas áreas deveriam ser iguais, mas, no entanto, o triângulo inferior tem um quadrado a mais, indicando que sua área é maior que a do triângulo superior.

De onde surgiu esse quadrado adicional do triângulo inferior?

 

Pense alguns minutos analisando a figura, antes de prosseguir na leitura da explicação abaixo:

Na realidade, as figuras formadas pelos agrupamentos dos polígonos A, B, C e D, embora pareçam, não são triângulos retângulos. As hipotenusas dos triângulos A e B não estão em linha reta, pois, como é fácil provar, os ângulos agudos inferiores desses triângulos não são iguais.

Esse fato pode ser verificado pela comparação entre as tangentes trigonométricas dos dois ângulos mencionados. Como em qualquer triângulo retângulo a tangente de um ângulo agudo é igual à razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente, tem-se:

Tangente do ângulo agudo inferior do triângulo A = 3 / 8 = 0,375

Tangente do ângulo agudo inferior do triângulo B = 2 / 5 = 0,4 

Ou seja, o ângulo agudo inferior do triângulo A é um pouco menor que o do triângulo B. No desenho, essa diferença é muito pequena e não dá para percebê-la visualmente. A figura abaixo apresenta um esquema, sem escala, exagerando as medidas para possibilitar uma melhor ideia da realidade. Na figura original, os dois “triângulos retângulos” são, na realidade, quadriláteros: o superior tem a forma do quadrilátero PQRS e o inferior, a forma do quadrilátero PQRT.

A área do quadrado adicional da figura original equivale à área do quadrilátero PSRT

 

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